​积分计算概述

积分计算概述

定积分(definite integral)的计算可以解决不规则区域面积，曲线长度，物体体积的计算问题。定积分计算的关键步骤是求被积函数的原函数，这是由微积分基本定理决定的，即

,

其中，是的一个原函数。换句话说，只需要找到一个，使得。

不定积分(indefinite integral)的计算应用在求微分方程的过程中，我们会通过对等式两边求不定积分来求解微分方程。

定积分求的是一个值，而不定积分求的是被积函数的所有的原函数（所以不要忘了加常数C，这在求微分方程时尤其重要）。

可见，无论是定积分还是不定积分，都离不开原函数的求解。或者说，我们要研究怎样把求导的过程逆回去。

我们现在总结一下求积分的一些方法。

观察法：有些函数一看就能猜出它的原函数，比如等，只要求导数比较熟悉，我们都能直接写出它们的原函数，就不多说了。

分部积分法(Integration by part)：当被积函数是两个函数的乘积时，有时候可以利用分部积分法来简化被积函数。这个方法其实来源于求导的乘法法则，乘法法则说的是

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我们对等式两边求不定积分，得到

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我们常常把它写成来应用，举个例子：

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换元法(substitution)：换元是积分当中最常用的手段。通过换元，我们常常可以把被积函数变成我们能够通过观察法来求解的形式。举个例子，让，如下的定积分就可以转化求解：

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部分分式分解(partial fraction)：当被积函数是一个有理函数，即一个分子分母都是多项式的函数时，若不能直接去积分，我们可以把分式写成几个更简单的分式的和再去积分。这是利用了一个代数上的结论：任何一个多项式都可以分解成一次式和二次式的乘积。我们通过分解分母多项式，可以把被积函数写成只有一次或二次式作为分母的分式之和，从而求出积分。举个例子：

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另外，三角函数的一些等式关系在积分中也很有用，例如：

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基本上，求积分的主要方法就这些了。实际运用中，往往需要多个方法综合起来使用才能顺利求出原函数。这里还有很多技巧没有讲，其实即使掌握了所有的技巧，也还是有很多函数是求不出来原函数的。（这一点跟求导数不一样，求导只要掌握了方法，基本没有求不出来的）

那么，求不出来原函数时，定积分怎么去计算呢？其实，我们可以通过数值方法来近似计算定积分，特别是有了计算机后，数值方法计算定积分还是很方便的。其实现在计算机也很强大，我们甚至可以让计算机帮助我们去求原函数，以及给出算积分的详细过程。大家在抓耳挠腮求不出来积分的时候，不妨试一试这个链接上的积分计算器，可能会豁然开朗哦！（头条不能链接外部网站，大家需要手动复制粘贴哦。）：https://www.integral-calculator.com/